Aritmética de intervalos una herramienta para la aproximación numérica de problemas de ingeniería

Los modelos matemáticos son una herramienta que nos permite entender problemas del medio con el cual interactuamos. Estos modelos pueden ser tan complejos como se desee, dependiendo de cuanto rigor se exija en su elaboración. En la práctica, se requieren soluciones rápidas y cuya solución refleje adecuadamente lo que experimentalmente se observa, aunque el modelo no sea sofisticado.

Cada modelo, por la naturaleza con la que se elabora, bajo las hipótesis y las leyes (generalmente físicas) va acompañada de un elemento de incertidumbre. Supongamos una situación común en la que se requiere el registro de un electrocardiograma de un paciente en un centro hospitalario. Para que el médico proporcione un diagnóstico adecuado, el registro del instrumento de medición, en este caso el electrocardiógrafo; esté libre de errores de medición; esto en general no es verdad, puesto que, dentro del proceso de manufactura del instrumento medidor, existen diversas fuentes de errores: la calibración de los equipos, el desgaste asociado y por supuesto a los errores del personal encargado del proceso, entre otros. Es aquí en donde la empresa manufacturera debe contar con el adecuado control de calidad del proceso y que asegure la alta calidad de su producto. En este contexto, la representación gráfica de la medición ayuda con la buena comprensión de anomalías (si existen) asociadas al estudio del paciente. Entre más exactitud se tenga en los registros, mejor será el diagnóstico. El estudio de estas anomalías sigue un proceso en el que, herramientas como la Estadística y el Análisis numérico juegan un papel importante. El proceso de investigación asociada con las anomalías utiliza, muchas veces, la elaboración de modelos que se alimentan de datos experimentales y, como hemos visto, involucran un término de incertidumbre.

El análisis de intervalos (AI) es una técnica relativamente nueva que surge de la década de los años 60's mediante los trabajos pioneros de control de errores de medición, así mismo se han dirigido estudios de manera independiente hacia la aplicabilidad del AI en áreas de ingeniería tales como: robótica, optimización (mediante la programación de la producción), en la evaluación de riesgo en problemas de ingeniería, en lógica difusa, entre otros. El AI ha tenido alto desarrollo tanto en los métodos como en las aplicaciones (véase, por ejemplo: http://www.cs.utep.edu/interval-comp/).

El AI se utiliza como técnica de aproximación numérica, bien para un modelo o para un problema matemático en donde los datos se deberán representar como intervalos, de esta manera se pretende que cualquier resultado que se calcule incorporará un error en la entrada, errores de redondeo y errores de truncamiento.

Desde el punto de vista puramente teórico se han generalizado métodos clásicos de cálculo numérico desde la óptica de "teoría de intervalos" como lo son métodos encaminados a la búsqueda de raíces de ecuaciones. Uno de los trabajos de investigación más importantes son trabajos direccionados a la búsqueda de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y temas relacionados. La aritmética de intervalos proporciona la teoría básica para realizar operaciones que son bien conocidas dentro de cualquier espacio vectorial como son las operaciones binarias: suma, resta multiplicación y división. Dentro de este sistema numérico del conjunto de intervalos se encuentra un problema muy importante que hace que la propiedad de existencia del elemento inverso multiplicativo no sea una consecuencia directa de la aritmética de los números reales y que hace que las operaciones antes mencionadas no sean operaciones cerradas.

En la Universidad Politécnica de Tulancingo, el Cuerpo Académico de Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería, que está adherido al programa educativo de Maestría en Optimización y a la Ingeniería Industrial, se cultivan líneas de investigación direccionadas al cálculo numérico de problemas de la Programación Matemática (Investigación de Operaciones) desde la perspectiva de Análisis de Intervalos.

DR. ENRIQUE GONZÁLEZ GUTIÉRREZ
Maestría en Optimización de Procesos